Algoritmo del Massimo Comune Divisore
Definizione del Problema
Sviluppa un algoritmo per calcolare il Massimo Comune Divisore (MCD) di due numeri interi dati. Dati due numeri interi non negativi \(a\) e \(b\) (dove \(a \geq b\)), trova il loro MCD. Il MCD di due numeri interi è il più grande intero che divide sia \(a\) che \(b\) senza lasciare resto.
Soluzione
L'algoritmo di Euclide è un metodo ben noto per calcolare il MCD di due numeri. L'algoritmo si basa sul principio che il MCD di due numeri divide anche la loro differenza.
L'algoritmo di Euclide può essere rappresentato matematicamente come:
\[ MCD(a, b) = \begin{cases} |a| & \text{se } b = 0 \\ MCD(b, a \mod b) & \text{se } b \neq 0 \end{cases} \]
Scenario del Mondo Reale (1)
Nell'analisi degli investimenti, gli analisti finanziari spesso confrontano diverse aziende utilizzando rapporti finanziari. Un rapporto comune è il rapporto debito/patrimonio netto, che misura la leva finanziaria di un'azienda. Per una segnalazione accurata e concisa, è utile presentare questi rapporti nella loro forma più semplice.
Consideriamo un analista finanziario che valuta il rapporto debito/patrimonio netto di un'azienda:
- L'azienda ha un debito totale di 84 milioni di dollari.
- Il patrimonio netto totale dell'azienda è di 120 milioni di dollari.
Il rapporto debito/patrimonio netto può essere rappresentato come una frazione del debito dell'azienda sul suo patrimonio netto, che è:
\[ \frac{84}{120}. \]
Dati due numeri interi, numeratore \(a\) e denominatore \(b\), vogliamo semplificare la frazione \(\frac{a}{b}\) in modo che il massimo comune divisore (MCD) di \(a\) e \(b\) sia 1. Questo significa ridurre la frazione dividendo sia il numeratore che il denominatore per il loro MCD.
Trova il MCD usando l'algoritmo di Euclide:
- Sia \( a = 84 \)
- Sia \( b = 120 \)
- Calcola \( 120 \mod 84 = 36 \)
- Calcola \( 84 \mod 36 = 12 \)
- Calcola \( 36 \mod 12 = 0 \)
- Poiché il resto è ora 0, il MCD è 12.
Semplifica la Frazione:
- \( \text{MCD}(84, 120) = 12 \)
- Numeratore semplificato: \( \frac{84}{12} = 7 \)
- Denominatore semplificato: \( \frac{120}{12} = 10 \)
- Frazione semplificata: \( \frac{7}{10} \)
Il rapporto debito/patrimonio netto semplificato è \( \frac{7}{10} \) (o 70%), indicando che per ogni $10 di patrimonio netto, l'azienda ha $7 di debito. Questo rapporto semplificato fornisce una comprensione più chiara della leva finanziaria dell'azienda.
Scenario del Mondo Reale (2)
Hai un pezzo di stoffa di 20 metri di lunghezza e 16 metri di larghezza. Qual è il numero minimo di asciugamani quadrati di dimensioni uguali che possono essere tagliati da questo pezzo di stoffa senza sprecare alcuna stoffa?
Soluzione
La misura di un lato dell'asciugamano quadrato richiesto è \(MCD(20,16) = 4\) metri. L'area di un asciugamano quadrato è \(4^2 = 16 m^2\). L'area del pezzo di stoffa intero è \(20 \cdot 16 = 320 m^2\). Il numero minimo di asciugamani possibili è: \[ \frac{320 m^2}{16 m^2} = 20 \text{ asciugamani}. \]